用密度方法进行拓扑优化

2019年1月4日

工程师在追求飞机和空间应用中的轻质结构组件方面具有重要的自由,因此使用可以利用这种自由的方法是有意义的,使拓扑优化成为早期设计阶段的流行选择。这种方法通常需要正则化和特殊的插值功能来获得有意义的设计,这可能对新的和有经验的模拟用户造成麻烦。为了简化拓扑优化问题的解决方案,Comsol®软件包含密度拓扑功能。

关于拓扑优化的密度方法

顾名思义,拓扑优化是一种能够为工程结构提供新的,更好的拓扑结构的方法,并具有一系列约束。该方法通过引入一组设计变量来描述设计空间内材料的存在或不存在,从而提出了这些新拓扑。这些变量是在网格的每个元素或网格的每个节点点内定义的。因此,更改这些设计变量变得类似于改变拓扑。这意味着结构中的孔可以出现,消失和合并,并且边界可以采用任意形状。另外,控制参数是自动定义的,并与离散化相关。

与ComsolMultiphysics®软件5.4版一样,附加优化模块包括一个密度拓扑功能,以提高拓扑优化的可用性。该功能被设计为用作密度方法(参考。3),这意味着控制参数通过插值函数更改材料参数。固体和流体力学的插值函数已内置在该功能中,并在comsol多物理学中的整个应用程序库中使用。

3个并排图像显示了支架几何形状的拓扑优化。
括号几何形状是拓扑优化的,仅剩下50%的材料,这对刚度最大。

印刷支架几何形状的图像。
打印的支架几何形状。

密度方法涉及控制变量字段的定义,\ theta_c,在0到1之间。在固体力学中,\ theta_c = 1对应于结构的材料,而\ theta_c = 0对应于一种非常柔软的材料。默认情况下,void Young的模量占固体模量的0.1%。在流体力学中,公约规定\ theta_c = 1对应于流体,而\ theta_c = 0是具有逆渗透率因子的(略有)渗透材料,;即,将阻尼项添加到Navier-Stokes方程中:

\ rho \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} = - \ mathbf {\ nabla} p+\ eta \ eta \ nabla^2 \ mathbf {v} - \ alpha(\ alpha)

阻尼项在流体域中为0,而在实心域中使用了大值。这些不同的值给出了域之间界面上无滑边界条件的良好近似值。

密度模型的简介

密度模型功能支持通过Helmholtz方程的正则化(参考。1)。这引入了使用过滤器半径的最小长度尺度,r_ \ mathrm {min}

\ theta_f = r_ \ mathrm {min}^2 \ mathbf {\ nabla}^2 \ theta_f + \ theta_c。

这里,\ theta_c是原始控制变量,由优化器修改,并且\ theta_f是过滤变量。网格边缘大小是滤波器半径的默认值。尽管这在正规化优化问题方面效果很好,但要设置固定长度(大于网格边缘大小)以获得与网格无关的结果很重要。

示意图显示了Helmholtz滤波器的分析方程。

用于MBB束优化研究的原始和过滤的控制变量的图。
顶部:可以通过分析求解Helmholtz滤波器的方程式以获得1D重质函数。底部:此情节取自MBB束优化模型。它显示左侧的原始控制变量,右侧显示了过滤版本。

Helmholtz过滤器产生了明显的灰度,这没有明确的物理解释。可以通过在称为称为投影在拓扑优化中。投影减少了灰度,但它也使优化器更难收敛。密度拓扑特征支持基于双曲线切线功能的投影,并且可以通过投影陡度控制投影量\ beta

\ theta = \ frac {\ tanh(\ beta(\ theta_f- \ \ theta _ {\ beta})))+\ tanh(\ beta \ beta \ theta _ {\ beta}}beta}))+\ tanh(\ beta \ theta _ {\ beta})}}

这里,\ theta _ {\ beta}是投影点。

并排比较过滤和投射的字段。
绘图显示左侧的过滤场和右侧的投影字段。

投影使避免灰度是可能的,但是如果优化问题有利于它,仍然可以出现灰度。如果将相同的插值函数用于质量和刚度,则灰度在体积约束的最小依从性问题上是最佳的。因此,使用插值函数通常会导致中间值与其成本相比刚度很小的相关(与完全固体值相比)。您可以将其视为处罚材料体积因子的中间值和密度模型界面(如下所示)支持两个这样的固体力学插值方案:固体各向同性材料(SIMP)(SIMP)和材料特性方法(RAMP)插值的合理近似。为流体力学提供了达西插值。插值变量称为惩罚材料体积因子,\水龙头,用于插值材料参数,例如,用于SIMP插值,p_ \ textsc {simp}可以增加指数以降低中间值的刚度,从而使灰度变得不利。

\ begin {align}
\ theta_p%26 = \ theta_ \ mathrm {min}(1- \ theta_ \ mathrm {min})\ theta^{p_ \ textsc {simp}} \\
e_p%26 = e \ theta_p
\ end {align}

这里,e是年轻的固体材料模量E_P是在所有优化域中使用的受惩罚的Young模量。

ComsolMultiphysics®中密度模型功能的设置的屏幕截图。
密度模型功能可在拓扑优化组件>定义。网格边缘长度被视为默认过滤器半径,并且效果很好,但是必须用固定值代替,以产生独立于网格的结果。

受惩罚的Young模量可以定义为域变量,也可以(如在支架模型的情况下)可以直接在材料中定义。

屏幕截图,显示了Young模量的材料特性。
密度方法的拓扑优化涉及在空间上改变年轻的模量。在这种情况下,它是通过进入材料特性并将固体年轻模量乘以受惩罚的材料体积因子的实现,即dtopo1.theta_p

总而言之,密度拓扑特征添加了四个变量。过滤的材料体积因子是使用因变量隐式定义的。

象征 描述 方程
\ theta_c 控制材料量因子 0 \ leq \ theta_c \ leq1
\ theta_f 过滤材料体积因子 \ theta_f = r_ \ mathrm {min}^2 \ mathbf {\ nabla}^2 \ theta_f + \ theta_c_c
\ theta 材料体积因子 \ theta = \ frac {\ tanh(\ beta(\ theta_f- \ \ theta _ {\ beta})))+\ tanh(\ beta \ beta \ theta _ {\ beta}}beta}))+\ tanh(\ beta \ theta _ {\ beta})}}
\水龙头 刑罚量因子 \ theta_p = \ theta_ \ mathrm {min}+(1- \ theta_ \ mathrm {min})\ theta^{p_ \ textsc {simp}}或者\ theta_p = \ frac {q_ \ mathrm {darcy}(1- \ theta)}} {q_ \ mathrm {darcy}+\ theta}

禁用过滤时,过滤变量将变得不确定,而投影直接使用控制材料量因子。如果禁用了投影,则仍然存在材料体积因子,但它与投影输入相同。

应用延续以避免当地的最小值

当拓扑不是太复杂时,密度拓扑的默认值也可以很好地工作。这种情况是MBB束优化拓扑优化的钩子楷模。如果最佳设计更为复杂(例如,本文顶部显示的括号示例),则可能有许多本地最小值。为避免使用这些最小值,您可以在SIMP指数和投影斜率中使用延续。这可以通过修改密度拓扑特征中的初始值表达式并添加一个来实现参数扫描功能,如下所示。结果,求解器在指定的参数上逐渐延伸,使用上一个情况中的最优值作为下一个优化步骤的初始值。也就是说,它以一个小的SIMP指数和投影斜率开始,然后继续以更高的值。

带有研究参考的参数扫描设置的屏幕截图。
可以通过将参数扫描与研究参考结合使用来应用延续。看到支架 - 拓扑优化详细信息的教程模型。

拓扑优化的目标和约束

如果对单个负载情况优化了几何形状(如下所示),则相对于该负载情况,所得设计将是最佳的。这似乎很明显,但是设计师经常对对称性和设计拓扑做出假设。除非这些假设被正式化为约束,否则它们将不会受到尊重。因此,下面显示的设计使用八个负载案例(两个负载组乘以四个约束组)。

针对单个负载情况优化的括号几何形状的图像。
托架案件的拓扑优化研究的图像受到八个负载案例。

左:对单个负载壳进行了优化的支架几何形状,从而导致了一个不对称的设计,有两个松散连接的半半。右:具有八个负载盒的支架几何形状。

设计师通常有几个需要加权的目标。为了对这些目标做出明智的决定,设计师可以使用具有不同权重的几个优化来追踪帕累托最佳阵线。

帕累托最佳前沿的图。
可以通过在参数扫描中改变重量来追踪括号几何形状的帕累托最佳前端。

动画拓扑优化的支架。(以GLB文件格式下载GLTF™文件,以自己旋转几何。)

导出和进口拓扑优化结果

可以分析拓扑优化设计的结果,并在不重组的情况下进行屈曲。但是,如果您想完全确定void阶段不起作用,则可以通过导出和导入所得设计来消除它,如下所示。此过程的详细信息将在以前的博客文章

拓扑优化MBB梁设计的轮廓和插值曲线的图像。
拓扑优化的MBB梁设计的轮廓(左)被导出并导入为插值曲线(右)。

下一步

要了解有关解决优化问题的内置工具和功能的更多信息,请单击下面的按钮查看优化模块产品页面。

进一步的资源

参考

  1. B.S.Lazarov和O. Sigmund,“基于Helmholtz型微分方程的拓扑优化的过滤器,”国际工程数值杂志,卷。86,不。6,第765–781页,2011年。
  2. F. Wang,B.S。Lazarov和O. Sigmund,“关于拓扑优化的投影方法,收敛和鲁棒配方”,结构和多学科优化,卷。43,第767–784页,2011年。
  3. M.P.Bendsøe,“最佳形状设计作为物质分布问题”,结构优化,卷。1,第193–202页,1989年。

GLTF和GLTF徽标是Khronos Group Inc.的商标。


评论(5)

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阿卜杜拉·谢赫(Abdullah Shaikh)
阿卜杜拉·谢赫(Abdullah Shaikh)
2020年12月13日

嗨,克里斯蒂安,
我是一名学生,是第一次使用comsol。我想使用Comsol拓扑优化来创建具有指定目标刚度900nm/rad的定制扭矩传感器(换句话说是弹性元件或平坦的扭转弹簧)。设计空间受外部和内部边界的限制,扭矩(100nm)通过轴施加,我希望弹性元件在扭矩范围为0到100 nm范围时显示线性角偏转。

我是一名本科生,最近接触拓扑优化,所以我想确切地知道如何使用comsol首先使用comsol制作这样的元素?谢谢

克里斯蒂安·埃利伯·詹森(KristianEjlebjærgJensen)
克里斯蒂安·埃利伯·詹森(KristianEjlebjærgJensen)
2020年12月14日 Comsol员工

嗨,阿卜杜拉

我想您想包括几何非线性。我们可以做到这一点,但是您可能需要添加更多的目标/约束来进行拓扑优化,以使问题更加良好。在这种情况下,形状优化可能更合适。

我建议您与comsol.com/support联系,如果您需要在特定型号的设置方面提供帮助。

此致,
克里斯蒂安·詹森(Kristian E. Jensen)
技术产品经理,优化

安德鲁·贝巴(Andrew Bayba)
安德鲁·贝巴(Andrew Bayba)
2021年6月17日

嗨,克里斯蒂安,
我是Comsol的新手,尤其是拓扑优化。我想对热问题进行两种材料(仅固体,依赖时间)。我有一个功能性的2D单材料,可以使用密度方法进行建模。现在,我想将其扩展到多物质模型(无效)。有什么简单的方法吗?
谢谢,
安迪

克里斯蒂安·埃利伯·詹森(KristianEjlebjærgJensen)
克里斯蒂安·埃利伯·詹森(KristianEjlebjærgJensen)
2021年6月18日 Comsol员工

嗨,安德鲁

如果您是拓扑优化和comsol的新手,则应尝试先进行简单的固定单材料。然后,您可以考虑使用两个密度模型实现两种物质。最后,您可以在时间依赖问题上进行优化。单个步骤并不复杂,但是您可以节省时间并减少项目故障的风险,如果您避免立即进行两次材料的时间。

此致,
克里斯蒂安·詹森(Kristian E. Jensen)
技术产品经理,优化

安德鲁·贝巴(Andrew Bayba)
安德鲁·贝巴(Andrew Bayba)
2021年6月22日

克里斯蒂安,
是的,我在没有时间依赖的情况下,在相对简单的单个材料模型上进行了相当多的工作,现在对转移2种材料“非常感兴趣”。
安迪

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