通过模拟查找调音叉神秘的答案

2018年4月13日

当调谐叉被撞到桌面上时,发出的声音双打的峰值频率是一种神秘的行为,使许多人感到困惑。在这篇博客文章中,我们使用仿真来解释调整叉的谜团,并在此过程中提供一些有趣的事实。

解释调音叉的奥秘

在最近的一个YouTube上的视频来自Standupmaths,科学爱好者马特·帕克(Matt Parker)和休·亨特(Hugh Hunt)讨论并演示了调音叉的“奥秘”。当您撞到调谐叉并将其固定在桌面上时,频率似乎是两倍。事实证明,这个谜团背后的解释可以归结为非线性固体力学。

听起来如何到达我们的耳朵?

当您手中握住振动调谐叉时,插脚的弯曲运动将其周围的空气置于运动中。空气中的压力波像声音一样传播。您可以听到它,但这不是将机械振动转换为声压的非常有效的转换。

当您将调谐叉的茎固定在桌子上时,茎中的轴向运动连接到桌面。该运动比插脚的横向运动小得多,但是它有可能将大型平坦桌面设置在运动中 - 这种表面比调谐叉的细插脚更好地发出声音。桌面表面将充当大扬声器隔膜。

调音叉的照片。
我们的调整叉。

为了调查这种有趣的行为,我们创建了调谐叉的固体力学计算模型。该模型基于我的一位同事保留在她的手提包中的调音叉。设备的音调是参考A4(440 Hz),材料是不锈钢,总长度约为12厘米。

首先,让我们看一下位移,因为调谐叉在其第一个本征模中振动:

在其第一个本本特征中振动的调谐叉的模拟。
调谐叉的基本频率的模式形状。

如果我们详细研究了位移,事实证明,即使插脚的总体运动朝向横向方向(X图片中的方向),还有一些小的垂直组件(在z方向),由两个部分组成:

  1. 插脚的弯曲伴随着上下运动,该运动在插脚横截面上线性变化
  2. 该茎具有本质上刚性的轴向运动,这对于将质量中心保持固定位置是必不可少的,如牛顿第二定律的要求

位移如下图所示。该模式归一化,以使最大总位移为1。峰轴向位移为0.03,茎中的位移为0.01。

调谐叉中总位移向量的模拟。
第一个本征模中的总位移向量。

调谐叉中轴向位移的模拟。
仅轴向位移。请注意,量表之间的量表不同。重心由蓝色球体指示。

现在,让我们转到声音发射。通过将声场的边界元素表示形式添加到模型中,可以计算周围空气中的声压水平。插脚尖端处的振动幅度设置为1 mm。如果不从应力的角度将调谐叉过载,则这大约是最大可行值。

从下图可以看出,声音的强度随着距调谐叉的距离而降低,并且具有很大的方向性。实际上,如果您在耳朵旁边的轴周围旋转叉叉,那么在45度方向上的近距离都会引人注目。

comsol模型可视化调谐叉周围的声压水平。
音压水平(DB)和辐射图案(插图)周围调整叉。

现在,我们在模型中添加2厘米厚的木桌表面。它的尺寸为1 x 1 m,并在拐角处得到支撑。调谐叉的茎与桌子中央的一个点接触。如下所示,在桌子上方和外部的大部分空气域中,声压水平非常重要。

当茎连接到桌子上时,调谐叉周围的声压水平的模型。
当调谐叉的茎连接到桌子上时,桌子上方的声压水平。

为了进行比较,我们将调谐叉固定时绘制同一空气域的声压水平。差异非常惊人,在桌子上方的所有空气中,声音压力非常低,除了调谐叉附近。如原始YouTube视频所示,这与我们在调谐叉上的体验相匹配。

当调谐叉未连接到桌子上时,声压水平的可视化水平。
固定时调谐叉的声压水平。

双频是固有频率吗?

到目前为止,我们还没有谈到最初的问题:为什么将调谐叉放在桌子上时频率会加倍?一种可能的解释可能是这样的固有频率,其运动在垂直方向上更为突出。为一个振动字符串,例如,固有频率是基本频率的整数倍数。

调谐叉并非如此。如果将插脚近似为弯曲的悬臂梁,则最低固有频率由表达式给出

f_1 = \ dfrac {1.875^2} {2 \ pi l^2} \ sqrt {\ dfrac {ei} {\ rho a}}

该表达的数量是:

  • 插脚的长度,l
  • Young的模量,E;通常大约200 GPA钢
  • 质量密度,ρ;大约7800 kg/m3
  • 插脚的横截面区域,一个

对于我们的调整叉,该评估为435 Hz,因此该公式提供了良好的近似值。

悬臂梁的第二个固有频率是

f_2 = \ dfrac {4.694^2} {2 \ pi l^2} \ sqrt {\ dfrac {ei} {\ rho a}}

该频率比基本频率高6.27。它不能参与频率加倍。但是,除了具有对称弯曲的模式外,还有其他模式形状。其中一个可以参与频率加倍吗?

这不太可能有两个原因。第一个原因是,可以观察到具有不同几何形状的调谐叉的频率加倍现象,如果所有这些都具有基本固有频率的两倍的特征,那将是一个巧合。第二个原因是非对称本征谱在茎上具有明显的横向位移,在该茎上夹紧调谐叉。因此,这样的本征码将被您的手强烈抑制,并具有微不足道的幅度。下面的动画显示了一种固有频率为1242 Hz的模式。

调谐叉的第一个本本征在440 Hz,这是一个平面外模式,其本征频率为1242 Hz,第二个弯曲模式为2774 Hz。

调音叉神秘的可能原因

让我们总结一下我们对频率翻倍现象的了解。由于只有在我们将调谐叉压到桌子上时才能经历,因此双频振动在茎中具有强大的轴向运动。另外,我们可以从Spectrum Analyzer(您可以在智能手机上下载这样的应用程序),从而相对于双重频率下的振动水平相对较快。作为主要的频率,它回到了基本频率。

对幅度的依赖性表明非线性现象。茎的轴向运动表明茎弥补了插脚质量中心的位置的变化。

无需使用数学细节,可以证明对于弯曲的悬臂,质量中心相对于原始长度移动距离l,那是

\ dfrac {\ delta z} {l} = \ beta \ left(\ dfrac {a} {l} {l} {l} \ right)^2

这里,一种是尖端和系数β≈0.2的横向运动。

重要的观察结果是,质量中心的垂直运动与振动幅度的平方成正比。同样,质量中心的每个周期的最低位置将处于最低位置(无论是在插脚向内弯曲和向外弯曲时),因此是双频率。

一种= 1毫米,插脚长度为l= 80毫米,可以估计插脚中心位置的最大变化估计为

\ delta z = 0.2 \ left(\ frac {1} {80} \ right)^2 \ mathrm 80 \,mm = 0.0025 \,mm

该茎的质量明显小于插脚,因此必须移动更多的重心才能保持其位置。因此,茎位移幅度可以估计为0.005 mm。从上面的数值实验中我们知道的内容应该可以看出这一点。轴向运动的线性(440 Hz)部分是一种/100;在此示例中,0.01毫米。

实际上,调谐叉比纯悬臂梁更复杂,茎和插脚之间的连接区域将影响结果。对于此处分析的调整叉,二阶位移实际上不到eNvelope的一半,预测为0.005 mm。

尽管如此,由二阶移动质量效应引起的轴向位移仍然显着。此外,在发出声音方面,重要的是速度,而不是位移。因此,如果位移幅度在440 Hz和880 Hz时相等,则双频率的速度是基本频率下的两倍。

由于在440 Hz处的轴向振动的振幅与prong幅度成正比一种,880-Hz振动的振幅与一种2,我们有必要用足够难以体验频率加倍效果的调音叉。随着振动的衰减,非线性项的相对重要性降低。在频谱分析仪上清楚地看到了这一点。

可以通过执行几何非线性瞬态动态分析。调谐叉是通过水平施加在插脚上的对称脉冲进行运动的,然后将自由振动。可以看出,水平的插脚位移几乎是正弦曲线的440 Hz,而茎以明显的非线性方式上下移动。茎位移是高度非对称的,因为440 Hz的贡献与插脚位移同步,而880 Hz期限始终给出额外的向上位移。

由于系统的非线性,振动并非完全周期性。即使是叉位移的幅度也可能因一个周期而异。

插脚中的水平位移的1D图和调谐叉茎中的垂直位移。
蓝线在插脚尖端显示横向位移,绿线显示茎底部的垂直位移。

如果使用FFT计算上面绘制的茎位移的频谱,则在440 Hz和880 Hz时有两个显着的峰。在第二个弯曲模式周围还有一个小的第三个峰。

调谐叉茎位移的频谱的快速傅立叶变换图。
垂直茎位移的频谱。

为了实际在880 Hz处看到二阶项,我们可以减去茎振动的一部分,而茎振动与总茎位移的插脚弯曲相相。这种位移差异在下图中作为红色曲线可见。

总轴向茎位移(蓝色),插脚弯曲比例茎位移(虚线绿色)和剩余的二阶位移(红色)。

我们如何执行此计算?好吧,我们从特征频率分析中知道,轴向茎振动的幅度约为横插脚位移的1%(实际上是0.92%)。在上图中,虚线的绿色曲线是插脚尖端电流位移的0.0092倍(图中未显示)。该曲线可以视为显示线性440 Hz项 - 或多或少纯正弦波。然后从总茎位移中减去该值,剩下的是红色曲线。当插脚笔直时,二阶位移为零,并且当插脚具有最大内向弯曲以及具有最大向外弯曲时,峰值均为峰值。

实际上,红色曲线看起来很像它的时间变化与罪恶成正比2(ωt)。由于上述分析,它应该与插脚位移的平方成比例。使用众所周知的三角身份,\ sin^2(\ omega t)= \ dfrac {1- \ cos(2 \ omega t)} {2}。输入双重频率!

不同的调谐叉

来自Standupmaths的原始视频的评论者注意到,某些调音叉比其他叉子更好,并且有了一些调整叉,很难看到频率加倍。如上所述,第一个标准是您足够用力击中它以进入非线性制度。但是,也存在几何差异,影响了两种振动的幅度之间的比率。

例如,相对于茎重的插脚会导致大型双频位移,因为茎必须移动更多才能维持重心。细长的插脚可以具有较大的幅度长度(一种/l)比率,因此增加了非线性项。

插脚遇到茎的区域的设计很重要。如果刚性,则茎中基本频率振动的幅度将减少,并且双频振动的相对重要性更大。

插脚的横截面也将产生影响。如果我们返回固有频率的表达式

f_1 = \ dfrac {1.875^2} {2 \ pi l^2} \ sqrt {\ dfrac {ei} {\ rho a}}

可以看出,横截面的惯性时刻起着作用。带有方形横截面的插脚d拥有

i = \ dfrac {d^4} {12}

而插脚具有直径为圆形的横截面d拥有

i = \ dfrac {\ pi d^4} {64}

因此,对于从侧面看时看起来相同的两个调谐叉,具有正方形轮廓的一个叉子必须具有prongs的插脚,其较长1.14才能给出相同的基本频率。如果我们假设由于两个调谐叉中的弯曲而引起的最大应力,则具有方形轮廓的一个可以具有横向位移幅度,为1.142由于其较高的负载能力,大于圆形的圆形。另外,如果将茎保持在固定尺寸的情况下,则与较长的插脚相比,它将变得比例更轻。当从圆形轮廓到方形轮廓移动时,所有这些贡献最终会增加垂直茎振动的70%。

此外,具有圆形横截面的调整叉通常具有在插脚和茎之间的连接方面更灵活的设计,因此在基本频率下的振动水平更高。

结论是,与具有圆形横截面的调音相比,具有方形横截面的调谐叉更有可能表现出频率的行为。

我们听到频率加倍吗?

在大多数情况下,答案是“否”。基本频率仍然存在,即使它的振幅可能比双重频率的振幅低。但是我们的感官工作方式,我们听到了基本频率,尽管有不同的音色。很难(但并非不可能)踩这叉叉,以至于双重频率的声音水平显着主导。

结论

频率加倍是由于非线性现象而发生的,其中调谐叉的茎必须向上移动,以补偿插脚质量中心的较小降低,因为它们接近弯曲运动的最外部位置。

请注意,调谐叉连接到表的事实并不是导致频率加倍的表。在这种情况下,我们测量它的原因是谐振表表面发出的声音是由轴向茎运动引起的,而我们从固定的调谐叉中听到的声音则由插脚弯曲主导。在两种情况下,动作都是相同的,只要桌子的阻抗被忽略即可。实际上,您也可以在固定时用调谐叉测量加倍的频率,但是它比基本频率低30 dB左右。

下一步


评论(6)

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T Fernandes
T Fernandes
2018年4月15日

“科学爱好者”对我的口味有点贬义。但是,很高兴知道Comsol正在接近趋势主题以吸引更广泛的受众。

伊瓦尔·凯尔伯格(Ivar Kjelberg)
伊瓦尔·凯尔伯格(Ivar Kjelberg)
2018年4月15日

你好亨里克
感谢您的博客,向我们展示了一些振动和共鸣的微妙之处。顺便说一句,在视频中,您可能只会看到prong在高阶模式下上下移动。
您知道,调谐叉不仅用于纯净的参考,它们已经在机械和电气手表中使用,并且已被用来使用。1960年来自Bulowa Swiss SA的Accutron(R)。
如今,许多新的专利正在发布,就像硅的力学和MEMS技术一样,可以用非常特殊的形状制作零件,因此许多工作正在进入新的共鸣逃生机制。但是,在这里,模式选择也是最关键的部分,如何使机械谐振器仅遵守一个给定模式并潮湿或抑制所有其他模式?答案是使用形状或添加其他材料。相当一项优化的程序,其中使用comsol多物理学(R)模拟很有帮助,因为没有其他工具允许我们混合如此多的物理学,可以考虑混合线性,但各向异性晶体和高度非线性材料,然后轻松添加热行为在上面。

因此,感谢您继续为结构物理模块添加改进的功能,包括其他物理学的更简单和高级混合,这对我们更好地了解我们的复杂机制并发明新的机制是一个很好的帮助。
真挚地
伊瓦

HenrikSönnerlind
HenrikSönnerlind
2018年4月16日

嗨,费尔南德斯先生,

感谢您的评论。没有意图贬值。Standupmaths YouTube频道是合格的科学,这些科学是由对自己的主题热情的人提出的。

问候,
亨里克

Punnag Chatterjee
Punnag Chatterjee
2018年8月21日

非常感谢您对调整叉的详细研究。从来没有想过来自SIN^2项的双重频率。

是否可以获取/访问此示例的comsol仿真文件?

HenrikSönnerlind
HenrikSönnerlind
2018年8月23日

嗨,punnag,

不幸的是,这些示例的文件目前尚不可用。如果稍后它们可用,我们将使用指向文件的链接更新此帖子。

问候,
亨里克

乔普·范·鲁斯马伦(Joep Van Roosmalen)
乔普·范·鲁斯马伦(Joep Van Roosmalen)
2019年2月23日

440Hz与思维(控制)/身体共鸣。
432Hz与有意义的能量的精神和谐相处。这就是给您鸡皮s的原因。这是认可。

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