非参与性高斯光束的渐渐成分

高斯光束是波光学中最流行的光源。这篇博客文章讨论了非参与性高斯光束背景字段的逃生成分，该功能可在电磁波，频域符合comsolMultiphysics®软件的5.5版Wave光学和RF模块的接口。

副式和非帕斯高斯光束介绍

高斯光束是聚焦在最小可能位置的电磁梁之一。当聚焦角度很小时，称为近去的高斯光束，而它被称为非帕斯高斯光束如果它更加紧密。

近距离高斯光束具有较长的历史，并且由Kogelnik和Li的副式理论很好地定义（请参阅参考。1对于近代理论和参考。2对于近似公式）。另一方面，非帕族高斯光束的理论并不那么方便（参考。3）。

comsol介绍了5.3a版本的非参节性高斯光束背景字段。该公式比在非帕班式情况下使用近去的高斯光束更好。非帕斯高斯光束的配方由两个部分组成：

1. 传播组件
2. Evanescent成分

版本5.3a包括传播组件，从版本5.5开始，该配方已完全露面；即，它包括evanescent成分。该组件计算一小部分场，这对于高度非参节性高斯梁很重要。

角光谱公式

我们已经讨论了非参节性高斯光束的推导基于角谱法。该描述是对非选项配方的一般介绍。在这篇博客文章中，我们将更加实用地讨论配方。

让我们考虑整个向量字段，在该字段中，传播方向是z-轴。根据如何选择极化，有不同的表示。至少有三篇参考论文（参考。3–5）这显然显示出不同的数学，但是所有人的基本要点是相同的。在这篇博客文章中，我们遵循Chaumet的配方，这是最简单和最容易理解的。对于半空间（即Z> 0） 它遵循

在哪里k_0^2 =（\ omega/c）^2 = k_x^2+k_y^2+k_z^2和a_i（k_x，k_y），i = x，y称为角谱函数，极化由e_ {x，0}和e_ {y，0}。

很容易通过手动计算确认该字段会自动满足Helmholtz方程和Maxwell方程（高斯定律）。同样，很容易看出，该公式可以为角光谱函数采用任意的可集成函数。

如前一篇文章所述，该公式表示平面波以各个角度传播以形成高斯束的三维图片。主要传播方向是z- 轴以使平面波的传播角度的特征在于投影\ vec {k} _0上横平；即，xy平面，是\ vec {k} _x和\ vec {k} _y。总结所有平面波意味着相对于k_x和k_y。

对于高斯梁，在焦平面中通常选择角光谱函数，并假定为高斯轮廓。IE。，

该角光谱函数意味着许多波在接近零角，这是z- 轴和高角度的贡献随着角度的增加而逐渐消失。在这里，我们注意到每个的集成k_x和k_y范围从- \ infty至+\ infty。集成的大部分贡献都来自-K_0至K_0。该解决方案称为传播组件。（这是从5.3a版本开始添加的内容。）

从数学上讲，麦克斯韦方程接受其他解决方案：集成范围的贡献K_0至+\ infty并来自-K_0至- \ infty也是。该解决方案称为evanescent成分。这是从5.5版开始添加的功能。在这种情况下会发生什么，在哪里k_x = k_0，，，，k_y = k_0例如，这就是k_z^2 = k_0^2 - k_x^2 -k_y^2 = -k_0^2。所以，k_z = ik_0。将其替换为上述公式，我们得到了一个因素\ exp [-k_0z]，随着田地传播远非重点，它迅速衰落；IE。，z = 0。因此，与传播组件相比，这是一个很小的部分。放下该组件仍然是非副高斯光束的良好近似值，但是随着聚焦角变高，它可能变得不可忽略。

在comsolMultiphysics®中模拟非参节性高斯光束

在物理节点中，您可以看到定义非参节性高斯光束背景字段的设置。我们必须注意几件事。

没有完美的横向模式

首先，众所周知，除了2D中的平面外壳外，基本上没有针对焦平面附近非参节性高斯梁的完美横向模式。这是因为纵向成分中总是有少量。从这个事实来看，该场的两极分化的定义不再清楚。

让我们看一下下面的屏幕截图。这是平面内非参节性高斯光束沿着沿着的设置的示例X- 轴为2D。即使选择高斯光束的振幅为（0,1,0），也会有X- 组件电场。不管您的设置如何，Comsol Multiphysics都会尝试求解Maxwell方程，并且它将输出必要的纵向组件（如果有）。

混叠

以上公式包含集成。在Comsol多物理学中实现这些公式时，所有这些数学操作都必须数字化和处理。出现一个抽样问题称为尚叠如果采样号不够大，那么在哪里获得工件。这波矢量计数和最大横波数设置与此问题有关。如果自动的不起作用，您可能需要调整这两个数字。

这波矢量计数定义您想要用多少不同的角度来传播飞机波，而不是连续无限的角度。在下面的设置中，选择了51个角度，而不是无限的数字。这足够大于2D，但是在3D情况下要小心，因为它会冻结您的模拟，因为在3D中，总波数计数是波矢量计数。

这最大横波数定义您允许想象的纵向波数量。例如，如果您选择2*ewfd.k0对于横向波数，如下屏幕截图中，您将获得k_x^2 = k_0^2- k_y^2 = k_0^2 - 2K_0^2 = -k_0^2。在这种情况下，是2D，因此横向波数为k_y纵向波数为k_x。此设置意味着您允许k_x从0到\ pm ik_0除了范围的传播组件-k_0 \ le k_x \ le k_0。evanevencent成分基本上很小。所以，2*ewfd.k0在许多情况下已经足够了。

2D模型的Evanescent Wave设置的屏幕截图。

以下是与传播成分（PWE Pro），具有ivaneScent成分（PWE EVA）的平面波扩展与腰部传播和传播成分（PWE Pro+EVA）的平面波膨胀与腰部的平面波扩展之间的比较半径0.5 \ lambda，这是高度非选项的。第一个表面图是场的标准。对于PWE EVA和PWE PRO+EVA，它仅显示正半空间，因为它在半空间中定义。线图是X- 和y- 该领域的profiles。这些图表明，近距离和非帕斯高斯光束之间的差异发生在横向方向的焦平面附近。

通过每种方法计算的电场规范的比较：近似近似，平面波膨胀（传播组件），平面波膨胀（Evanescent成分）和平面波膨胀（传播和传播成分）。

通过每种方法计算出的X和Y轴中电场的比较：近似近似，平面波膨胀（传播组件），平面波膨胀（Evanescent成分）和平面波膨胀（传播和evaneScent成分）。

最后一个表面图是来自Helmholtz方程的误差（请参阅以前的帖子对于错误的定义）。这些图更令人印象深刻地表达了解决方案对Helmholtz方程的严格性的改善。

通过每种方法计算得出的Helmholtz兼容解决方案的误差幅度的比较：近似近似，平面波膨胀（传播组件），平面波膨胀（evanescent成分）和平面波扩展（传播和渐进式组件）。

总结说

通过将evanescent成分添加到非参与性高斯光束背景字段特征中，现在完整的配方包含所有可能的严格解决方案。从上面的轮廓图中可以看出，对非帕克西式制度的近后高斯束公式看起来令人惊讶地正确。但是，如果我们查看错误图，很明显，它不能满足高度非选项案例的域中的Helmholtz方程。这就是为什么我们需要对非参节性高斯梁的严格配方。

参考

1. H. Kogelnik和T. Li，“激光束和谐振器”，应用光学器件，卷。5，不。10，第1550–1567页，1966年。
2. “高斯光束”，维基百科，，，，https://en.wikipedia.org/wiki/gaussian_beam。
3. 个人电脑。Chaumet，“完全矢量的高度非副束接近腰部”，Josa a，卷。23，不。12，第3197–3202页，2006年。
4. R. Martinez-Herrero，下午Mejias和A. Carnicer，“矢量性高度非律束的渐态田”，光学快递，卷。16，不。5，第2845–2858页，2008年。
5. P. Varga和P.Török，“麦克斯韦方程的高斯波解和标量波近似的有效性”，光学通信，卷。152，不。1–3，第108–118页，1998年。